中六 Sum to Infinity｜題目冇寫 Infinity 都要用 S∞？2017 DSE 供水題教你分 Sₙ
已更新：23小时前
中六 Sequences and Series（數列與級數）文字題，有時冇直接寫「infinity」或「無限」，但考生仍然需要考慮 Sum to Infinity（無限項和）S∞。究竟點分題目問有限項和 Sₙ，定係無限項和 S∞？Mr. Mak 用一條 HKDSE 供水題，並排比較兩種問法。
本文以 2017 HKDSE Mathematics Compulsory Part Paper 1 Q16 為參考，題意經教學改寫；圖解及文字講解由朗晴數學整理，並非考評局原題逐字轉載。
一、先分清題目問「首 n 項」定「全部總量」
題目明確寫 first 20 years（首20年）、first n terms（首 n 項）或一個指定期數 → 用有限項和 Sₙ。
題目問一個持續進行而沒有指定終止年份的計劃，整體總量是否會超過某個數值／總量上限 → 可以考慮用 S∞。
看到 geometric sequence（等比數列）本身，不代表一定用 S∞；必須配合題目真正要求。
使用 S∞ 公式前，要確認公比 r 滿足 −1 < r < 1。
二、必要公式：Geometric Series 的 Sₙ 與 S∞
設首項為 a，公比為 r，首 n 項和：Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)（r ≠ 1）。
當 −1 < r < 1，且 r 為等比級數公比時，無限項和收斂，S∞ = a/(1 − r)。
注意：若 r ≥ 1 或 r ≤ −1，一般不能直接套用上述 S∞ 公式去求有限的無限項和；如題目只問首 n 項，則按條件用 Sₙ。
三、真題情境：2017 HKDSE Paper 1 Q16（題意改寫）
某城市第一年從另一城市輸入食水 1.5 × 10⁷ m³；之後每年比上一年少 10%。
由於每年保留上年度的 90%，形成等比數列，首項 a = 1.5 × 10⁷，公比 r = 0.9。
例題 (a)｜首 20 年的總輸水量
題目問 first 20 years，已指定 n = 20，所以要用 S₂₀，而唔係 S∞。
S₂₀ = [1.5 × 10⁷ × (1 − 0.9²⁰)] / (1 − 0.9)
= 131,763,501.8… m³ ≈ 1.32 × 10⁸ m³（3 significant figures）。
例題 (b)｜總輸水量會否超過 1.6 × 10⁸ m³？
題目冇指定第幾年截止，而係問這項按固定比例減少的計劃，整體累積總量是否有機會超過 1.6 × 10⁸ m³。
因為 0 < r = 0.9 < 1，而且每年的輸水量皆為正數，故首 n 年的累積總量會增加，但始終小於無限項和 S∞。
S∞ = a/(1 − r) = (1.5 × 10⁷)/(1 − 0.9) = 1.5 × 10⁸ m³。
1.5 × 10⁸ < 1.6 × 10⁸，所以不論經過多少個有限年份，總量都不會超過 1.6 × 10⁸ m³。
答案：不會超過。
四、DSE 常見字眼：唔寫 Infinity，都可能要用 S∞
the total amount over the whole plan（整個計劃的累積總量）
will the total exceed ...?（總量會否超過……？）
maximum possible total / upper limit（可達到的總量上限）
in the long run（長遠累計）
以上只係判斷線索，唔係見到字眼就必定套 S∞：仍要睇題目有冇指定期數，以及公比是否令級數收斂。
五、Mr. Mak 提醒：避免三個常犯錯誤
見到「每年減少10%」就用 r = −0.1：錯。每年為上年90%，所以 r = 0.9。
題目問首20年，直接用 S∞：錯。題目已有 n = 20，應用 S₂₀。
見到等比數列就一定用 S∞：錯。先判斷有限定年份與否，再檢查 −1 < r < 1；若題目涉及長遠總量上限，亦應考慮各項正負，避免誤把一般 S∞ 當成所有 Sₙ 的上限。
六、30秒重溫重點
問指定項數（first n terms / first n years）→ Sₙ。
問長遠累積總量、會否超過上限，沒有指定終止年份 → 考慮 S∞。
用 S∞ 前先檢查 −1 < r < 1；若用來判斷累積總量上限，也要確認每期數量為正。
關於朗晴數學 Bright & Breezy Maths
本文由朗晴數學課程總監 Mr. Mak 整理，從 HKDSE 數學 Paper 1 常見文字題入手，訓練同學判斷應選哪一條公式，而不是只背誦公式。
參考：2017 HKDSE Mathematics Compulsory Part Paper 1 Question 16（題意改寫）。
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