中四 Quadratic Equations｜Has real roots 用 Δ≥0？Nature of Roots 判別式
中四 Quadratic Equations（二次方程）Nature of Roots（根的性質）一個常見失分位置，就係見到題目話「the quadratic equation has real roots」，便以為必須有兩個相異實根（two distinct real roots），直接寫 Δ > 0。
其實「has real roots」只表示有實數根，當中包括兩個相異實根，以及一個重根（repeated root）。所以一般應用 Δ ≥ 0，而唔係 Δ > 0。Mr. Mak 今次用一張30秒漫畫加一條中四程度的例題解釋。
一、Discriminant（判別式）是甚麼？
對於二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），判別式：
Δ = b² − 4ac
唔需要先求出根，只要檢查 Δ 嘅正負，就可以判斷根的性質（Nature of Roots）。
二、Δ 有三種情況
Δ > 0：有兩個相異實根（two distinct real roots）。二次函數圖像與 x 軸有兩個交點。
Δ = 0：有一個相同的實根（a repeated real root；按重數計是重根）。圖像與 x 軸相切，只有一個交點。
Δ < 0：沒有實數根（no real roots）。圖像不會與 x 軸相交。
三、考試用語：has real roots 與 two distinct real roots
題目如果只寫「has real roots」，即係有實數根，未必係兩個相異實根（two distinct real roots）。正確條件：Δ ≥ 0。
如果題目明確寫「has two distinct real roots」，先用 Δ > 0；如果寫「equal roots」、「repeated root」，則用 Δ = 0。
四、例題：令方程有實數根
Find the values of k for which the equation x² + 4x + k = 0 has real roots.
已知 a = 1、b = 4、c = k。
Δ = b² − 4ac
= 4² − 4(1)(k)
= 16 − 4k
由於題目只要求 has real roots，所以：
16 − 4k ≥ 0
4k ≤ 16
答案：k ≤ 4。
你可以再檢查邊界值：當 k = 4，方程變成 x² + 4x + 4 = (x + 2)² = 0，只有一個重根 x = −2，仍然屬於「has real roots」。因此答案一定要包含等號。
五、Mr. Mak 提醒：最易錯係漏咗等號
has real roots → Δ ≥ 0（容許一個重根或兩個相異實根）。
two distinct real roots → Δ > 0（一定要兩個不同的實數根）。
equal / repeated roots → Δ = 0。
no real roots → Δ < 0。
最後做個小測試：在例題中，k = 4 可以；k = 3 可以（兩個相異實根）；k = 5 就唔可以（Δ < 0）。
關於朗晴數學 Bright & Breezy Maths
本文由朗晴數學課程總監 Mr. Mak 整理。教學重點唔只係背 Δ = b² − 4ac，而係先讀清楚英文題目要求，再決定用 >、= 定 ≥。
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